Magic Disk 64

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            FRAKTALGENERATOR            
   - Die Faszination der Mathematik -   
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Mit dem "Fraktalgenerator" auf dieser MD
möchten wir Ihnen ein Programm  vorstel-
len,  mit dem es möglich ist, die umfan-
greiche Welt der Fraktalgrafik zu erfor-
schen.  Hierzu gehören nicht nur die so-
genannten "Apfelmännchen"  sondern  auch
eine Vielzahl von weiteren, faszinieren-
den Bildarten, deren Aussehen  und  Form
von den Berechnungsformeln abhängig ist,
die  zur Erstellung eines solchen Bildes
herangezogen werden. Der  Fraktalgenera-
tor   ermöglicht   Ihnen  diese  Formeln
selbst  festzulegen,  womit  Ihnen  eine
unendliche  Zahl an Kombinationsmöglich-
keiten zur Verfügung stehen, und Sie die
Welt  der  Fraktale  regelrecht  "erfor-
schen" können.                          
1) ALLGEMEINE BEDIENUNGSHINWEISE        
Zunächst laden und starten Sie das  Pro-
gramm  mittels  LOAD"FRAKTALGENERATOR",8
und "RUN". Hiernach wird noch ein kurzer
Programmteil  nachgeladen,   bevor   das
Hauptmenu  erscheint.  Außer  den sieben
Menupunkten sehen  Sie  links  unten  am
Bildschirm  die  momentan  eingestellten
Formeln, nach denen X- und  Y-Koordinate
eines Punktes berechnet werden.         
Die  Menupunkte  selbst  können  Sie mit
Hilfe der Tasten <CRSR hoch>  und  <CRSR
runter>  wählen,  oder  aber Sie drücken
gleich eine der  Zifferntasten  von  <1>
bis  <7>  um  die beiden Pfeile, die den
aktuellen Menupunkt  anzeigen,  auf  die
gewünschte Position zu bringen. Mit <RE-
TURN> wird dann ein Menupunkt angewählt.
Bei  allen  Eingabe-Funktionen  des Pro-
gramms kann die <DEL>-Taste zum  Löschen
des  jeweils  zuletzt  eingegebenen Zei-
chens benutzt werden. Die gesamte Einga-
be  wird  immer mit <RETURN> abgeschlos-
sen.                                    
Alle Filenamen dürfen maximal 11 Zeichen
lang sein. Das Programm hängt dann immer
automatisch  die  Endung  ".frac" an, an
der Sie die vom Fraktalgenerator erzeug-
ten  Fraktalgrafiken erkennen. Dies sind
übrigens    ganz     normale     2-farb-
Hiresgrafiken,  die Sie mit jedem belie-
bigen Malprogramm einladen  und  weiter-
bearbeiten können.                      
2) DIE MENUPUNKTE                       
Kommen wir nun zu den einzelnen Funktio-
nen des Hauptmenus und deren Bedeutung: 
a) FRAKTAL EINGEBEN                     
Hier  definieren  Sie  die  Formeln, mit
denen  das  Programm  die  X-   und   Y-
Koordinate eines Punktes berechnen soll.
Hierbei  können Sie einige bestimmte Va-
riablen, die Grundrechenarten  (+,-,*,/)
sowie   alle   vom  Commodore-Basic  un-
terstützten,  mathematischen  Funktionen
(z.B.  SIN, COS, SQR, ABS, etc.) verwen-
den. Als Variablen  kennt  das  Programm
insgesamt  neun  verschiedene Werte, die
teilweise  aus  den   Koordinatenformeln
resultieren oder später, vor der Berech-
nung von Ihnen festgelegt werden können.
Hier nun eine Auflistung  der  einzelnen
Variablen. Zum genaueren Verständis ein-
zelner Variablen sollten  Sie  sich  die
Beschreibung  zum Menupunkt "FRAKTAL BE-
RECHNEN" anschauen:                     
X und Y:                                
Diese  beiden  Variablen  repräsentieren
den aktuellen Schleifenwert für  X-  und
Y-Durchlauf.  Er  errechnet sich aus der
Differenz zwischen linkem  und  rechten,
bzw.  oberen und unteren Bildschirmrand,
dividiert durch die Anzahl der Iteratio-
nen,  mal  die  Anzahl  der schon durch-
geführten Iterationen.                  
A, B, und C:                            
Dies  sind 3 von Ihnen frei definierbare
Parameter,  die,  in  die  X-   und   Y-
Koordinatenformeln eingesetzt, bestimmte
Veränderungen  durchführen. Multiplizie-
ren Sie z.B. die gesamte Formel mit  der
Variablen A und geben Sie dieser vor der
Berechnung  den  Wert 2, so wird das Er-
gebnis der  Formel  automatisch  verdop-
pelt,  was einer Vergrößerung des Bildes
um den Faktor 2 gleichkommt.            
X1 und X2:                              
Diese  beiden  Variablen  repräsentieren
des linken (X1) und rechten  (X2)  Bild-
schirmrand, der vor der Berechnung defi-
niert wird.                             
Y1 und Y2:                              
Diese  Werte sind die obere (Y1) und un-
tere (Y2) Bildschirmrand-Koordinate  für
eine  Berechnung, die ebenfalls beide in
einer Formel eingesetzt werden dürfen.  
Wie Sie sehen, können Sie durch Rekombi-
nation  dieser  Variablen  und  wiederum
verschiedener mathematischer Rechenfunk-
tionen eine unendliche Vielfalt von ver-
schiedenen  Formeln  erstellen.  Da  die
Bedeutung  der  einzelnen  Parameter auf
den   ersten   Blick   nicht   unbedingt
verständlich  ist,  sind  am Ende dieser
Anleitung noch einige Beispielwerte  und
-formeln  zu finden, die Ihnen das Expe-
rimentieren erleichten sollen.          
b) FRAKTAL BERECHNEN                    
Dieser Menupunkt dient nun dem eigentli-
chen  Berechnen   eines   Fraktalbildes.
Hierzu  müssen  zunächst  einige Berech-
nungsparameter  angegeben  werden.   Als
Erstes  fragt  Sie das Programm nach dem
Inhalt der Variablen A, B, und C.  Geben
Sie  diese jeweils wie gewünscht an. Ist
eine oder mehrere dieser Variablen nicht
in den beiden  Formeln  für  X-  und  Y-
Koordinate  enthalten,  so  überspringen
Sie die Eingabe  einfach  durch  Drücken
der  <RETURN>-Taste, da diese Werte dann
auch irrelevant sind.                   
Hiernach möchte das Programm  von  Ihnen
die  Startwerte  für X- und Y-Koordinate
wissen. Berechnen Sie eine neue  Grafik,
so  drücken  Sie  auch  hier einfach die
<RETURN>-Taste. Für den  Fall,  daß  Sie
eine  abgebrochene  Grafik weiterberech-
nen, so müssen Sie hier die beim Abbruch
vom Programm angegebenen  Werte  eintra-
gen.                                    
Als nächstes sind die Werte für den lin-
ken und rechten Rand anzugeben. Sie  be-
stimmen hiermit, auf welchen Bereich der
unendlich  großen  Fraktalmenge Sie sich
beschränken. Die Werte  können  beliebig
klein  oder  groß sein, wobei Sie jedoch
darauf achten sollten, daß X2 immer grö-
ßer ist als X1.                         
Nun müssen noch die Grenzen für den obe-
ren und unteren Bildschirmrand angegeben
werden. Auch hier wird nicht eine  Bild-
schirmkoordinate,  sondern  der  Bereich
der Fraktalmenge bestimmt, auf  den  Sie
blicken möchten. Das Programm gibt Ihnen
dabei  schon  zwei  Werte  vor,  die  es
abhängig von den beiden Werten  für  die
linke  und rechte Bildbegrenzung errech-
net hat.  Öbernehmen  Sie  diese  beiden
Werte  durch drücken der <RETURN>-Taste,
so ist gewährleistet, daß die berechnete
Grafik  unverzerrt  auf  dem  Bildschirm
erscheint.  Die  Werte  sind automatisch
darauf ausgelegt,  das  Seitenverhältnis
des Bildschims auszugleichen. Wählen Sie
kleinere oder größere Werte, so wird das
Ergebnisbild in der Vertikalen gestaucht
oder gedehnt.                           
Nun möchte der Fraktalgenerator von  Ih-
nen  wissen,  ob er die Grafik, die sich
momentan im Speicher  befindet,  löschen
soll.  Bestätigen Sie die immer mit <J>,
wenn Sie eine neue  Berechnung  starten.
Soll  eine  zuvor  begonnene  Berechnung
fortgeführt werden, so sollten  Sie  mit
<N> die Grafik so belassen wie sie ist. 
Zuletzt wird nach der Anzahl der maximal
zu  berechnenden  Iterationen   gefragt.
Hier  werden  Werte  zwischen 100000 und
1000000 empfohlen. Je  höher  der  Wert,
desto  detailreicher  wird  die  Grafik,
jedoch desto länger dauert auch die  Be-
rechnung!                               
Nachdem  der  letzte  Parameter spezifi-
ziert wurde beginnt das Programm mit der
Berechnung der Grafik, was durchaus meh-
rere  Stunden  in  Anspruch nehmen kann!
Sie sehen hierbei einen  weißen  Grafik-
bildschirm  auf  dem  nach  einiger Zeit
schon die ersten Grafikpunkte  zu  sehen
sein  sollten.  Sie  haben nun jederzeit
die  Möglichkeit,  durch   Drücken   der
<C=>-Taste  die  Berechnung  anzuhalten.
Hierbei wird Ihnen  angezeigt,  wieviele
von den geforderten Iterationen das Pro-
gramm schon durchlaufen hat und Sie wer-
den  gefragt, ob Sie die Berechnung vor-
zeitig abbrechen, oder doch weiterführen
möchten. In letzterem Fall  drücken  Sie
die  <N>-Taste.  Brechen Sie mit <J> ab,
so gibt Ihnen das Programm die Werte der
X- und Y-Koordinaten zum  Zeitpunkt  der
Unterbrechung  aus.  Möchten Sie die Be-
rechnung  zu  einem  späteren  Zeitpunkt
fortführen,  so  sollten  Sie sich diese
beiden Werte notieren, und die  sich  im
Speicher befindliche Grafik auf Diskette
ablegen.  Um  die Berechnung später dann
neu zu starten  laden  Sie  einfach  die
Grafik  wieder ein und geben Sie bei den
Parametern zu Beginn der Berechnung die-
selben  Werte  an,  die  Sie  zuvor auch
schon benutzten. Die beiden notierten X-
und Y-Werte setzen Sie dann  als  Start-
koordinaten  der Berechnung ein. Zusätz-
lich müssen Sie dem Programm  mitteilen,
daß  es die Grafik im Speicher nicht lö-
schen, sondern neu berechnete Punkte  in
die alte Grafik einfügen soll.          
Bricht  das  Programm die Berechnung von
selbst ab, so wurden entweder alle  Ite-
rationen durchgerechnet oder es trat ein
Fehler  in  Ihrer  Formel auf. Dies kann
passieren, wenn Sie eine unbekannte  Va-
riable  oder mathematische Funktion ver-
wendeten, oder aber  auch  mathematische
Fehler,  wie z.B. eine Division durch 0,
auftraten. In dem Fall sollten Sie  Ihre
Koordinatenformeln,  sowie die Rechenpa-
rameter nochmals überprüfen.            
c) FRAKTAL ZEIGEN                       
Mit dieser Funktion können Sie sich  die
im  Speicher  befindliche Grafik auf dem
Bildschirm anschauen. Durch Drücken  der
Tasten <F1> und <F7> können Sie die Hin-
tergrund- und Pixelfarbe ändern. Mit der
<<>-Taste wird zum  Hauptmenu  zurückge-
kehrt.                                  
d) FRAKTAL SICHERN                      
Diese  Funktion  legt die, sich im Spei-
cher befindliche,  Grafik  auf  Diskette
ab. Benutzen Sie sie um eine Grafik z.B.
in  einem Grafikprogramm weiterzuverwen-
den oder auszudrucken. Möchten Sie  eine
abgebrochene   Berechnung   später  wei-
terführen so  sollte  ebenfalls  gespei-
chert  werden.  Nach Eingabe des Filena-
mens und Beendigung des Speichervorgangs
erscheint der Floppystatus auf dem Bild-
schirm und Sie gelangen mit einem belie-
bigen Tastendruck zum Hauptmenu zurück. 
e) FRAKTAL LADEN                        
Hiermit  wird  eine  zuvor  gespeicherte
Grafik wieder in den Speicher des Compu-
ters  geladen. Dies ist nur dann notwen-
dig, wenn Sie eine abgebrochene  Berech-
nung fortführen möchten.                
f) DIRECTORY                            
Diese Funktion zeigt Ihnen das  Inhalts-
verzeichnis der eingelegten Diskette auf
dem  Bildschirm an. Mit einem beliebigen
Tastendruck wird zum Hauptmenu zurückge-
kehrt.                                  
g) PROGRAMM BEENDEN                     
Hiermit  wird  der Fraktalgenerator ver-
lassen. Sie müssen hierzu  die  erschei-
nende  Sicherheitsabfrage mit <J> beant-
worten. Geben Sie <N> ein, um zum Haupt-
menu zurückzukehren.                    
3) BEISPIELE                            
Prinzipiell sollten Sie mit dem Programm
ein  wenig  herumexperimentieren,  um zu
sehen, welche Parameter und Formeln wel-
che  Arten  von  Fraktalen erzeugen. Zum
leichteren Einstieg  möchten  wir  Ihnen
zwei  Formeln  für  X- und Y-Koordinate,
sowie einige Beispielwerte für  die  Va-
riablen A, B, und C geben, mit denen Sie
recht  ansehnliche  Fraktalgrafiken  be-
rechnen lassen  können.  Öbernehmen  Sie
die Formeln einfach wie sie hier stehen,
und  wählen  Sie bei der Berechnung eine
der angegebenen  Möglichkeiten  für  die
Variablen A, B und C:                   
a) BEISPIEL 1                           
   Formeln:                             
     x = y-SGN(x)*SQR(ABS(b*x-c))       
     y = a-x                            
   Variablen:                           
     a=12  b=1.3  c=7                   
     a=2   b=13   c=1.2                 
     a=4   b=5    c=0                   
b) BEISPIEL 2                           
   Formeln:                             
     x = y-SQR(ABS((x+a)*(b-x)))        
     y = c-x                            
   Variablen:                           
     a=1   b=20   c=100                 
     a=4   b=40   c=-20                 
                                    (ub)



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