FRAKTALGENERATOR
- Die Faszination der Mathematik -
Mit dem " Fraktalgenerator" auf dieser MD
möchten wir Ihnen ein Programm vorstellen, mit dem es möglich ist, die umfangreiche Welt der Fraktalgrafik zu erforschen. Hierzu gehören nicht nur die sogenannten " Apfelmännchen" sondern auch
eine Vielzahl von weiteren, faszinierenden Bildarten, deren Aussehen und Form
von den Berechnungsformeln abhängig ist, die zur Erstellung eines solchen Bildes
herangezogen werden. Der Fraktalgenerator ermöglicht Ihnen diese Formeln
selbst festzulegen, womit Ihnen eine
unendliche Zahl an Kombinationsmöglichkeiten zur Verfügung stehen, und Sie die
Welt der Fraktale regelrecht " erforschen" können.
1) ALLGEMEINE BEDIENUNGSHINWEISE
Zunächst laden und starten Sie das Programm mittels LOAD" FRAKTALGENERATOR",8 und " RUN" . Hiernach wird noch ein kurzer
Programmteil nachgeladen, bevor das
Hauptmenu erscheint. Außer den sieben
Menupunkten sehen Sie links unten am
Bildschirm die momentan eingestellten
Formeln, nach denen Xund Y-Koordinate
eines Punktes berechnet werden.
Die Menupunkte selbst können Sie mit
Hilfe der Tasten < CRSR hoch> und < CRSR
runter> wählen, oder aber Sie drücken
gleich eine der Zifferntasten von <1> bis <7> um die beiden Pfeile, die den
aktuellen Menupunkt anzeigen, auf die
gewünschte Position zu bringen. Mit < RE-TURN> wird dann ein Menupunkt angewählt.
Bei allen Eingabe-Funktionen des Programms kann die < DEL>- Taste zum Löschen
des jeweils zuletzt eingegebenen Zeichens benutzt werden. Die gesamte Eingabe wird immer mit < RETURN> abgeschlossen.
Alle Filenamen dürfen maximal 11 Zeichen lang sein. Das Programm hängt dann immer
automatisch die Endung " . frac" an, an
der Sie die vom Fraktalgenerator erzeugten Fraktalgrafiken erkennen. Dies sind
übrigens ganz normale 2- farb-Hiresgrafiken, die Sie mit jedem beliebigen Malprogramm einladen und weiterbearbeiten können.
2) DIE MENUPUNKTE Kommen wir nun zu den einzelnen Funktionen des Hauptmenus und deren Bedeutung:
a) FRAKTAL EINGEBEN Hier definieren Sie die Formeln, mit
denen das Programm die Xund Y-Koordinate eines Punktes berechnen soll.
Hierbei können Sie einige bestimmte Variablen, die Grundrechenarten (+,-,*,/) sowie alle vom Commodore-Basic unterstützten, mathematischen Funktionen
( z. B. SIN, COS, SQR, ABS, etc.) verwenden. Als Variablen kennt das Programm insgesamt neun verschiedene Werte, die
teilweise aus den Koordinatenformeln
resultieren oder später, vor der Berechnung von Ihnen festgelegt werden können.
Hier nun eine Auflistung der einzelnen
Variablen. Zum genaueren Verständis einzelner Variablen sollten Sie sich die
Beschreibung zum Menupunkt " FRAKTAL BE-RECHNEN" anschauen:
X und Y:
Diese beiden Variablen repräsentieren
den aktuellen Schleifenwert für Xund
Y-Durchlauf. Er errechnet sich aus der
Differenz zwischen linkem und rechten, bzw. oberen und unteren Bildschirmrand, dividiert durch die Anzahl der Iterationen, mal die Anzahl der schon durchgeführten Iterationen.
A, B, und C:
Dies sind 3 von Ihnen frei definierbare
Parameter, die, in die Xund Y-Koordinatenformeln eingesetzt, bestimmte Veränderungen durchführen. Multiplizieren Sie z. B. die gesamte Formel mit der
Variablen A und geben Sie dieser vor der
Berechnung den Wert 2, so wird das Ergebnis der Formel automatisch verdoppelt, was einer Vergrößerung des Bildes
um den Faktor 2 gleichkommt.
X1 und X2 :
Diese beiden Variablen repräsentieren
des linken ( X1) und rechten ( X2) Bildschirmrand, der vor der Berechnung definiert wird.
Y1 und Y2 :
Diese Werte sind die obere ( Y1) und untere ( Y2) Bildschirmrand-Koordinate für
eine Berechnung, die ebenfalls beide in
einer Formel eingesetzt werden dürfen.
Wie Sie sehen, können Sie durch Rekombination dieser Variablen und wiederum
verschiedener mathematischer Rechenfunktionen eine unendliche Vielfalt von ver- schiedenen Formeln erstellen. Da die
Bedeutung der einzelnen Parameter auf
den ersten Blick nicht unbedingt
verständlich ist, sind am Ende dieser
Anleitung noch einige Beispielwerte und
- formeln zu finden, die Ihnen das Experimentieren erleichten sollen.
b) FRAKTAL BERECHNEN Dieser Menupunkt dient nun dem eigentlichen Berechnen eines Fraktalbildes.
Hierzu müssen zunächst einige Berechnungsparameter angegeben werden. Als
Erstes fragt Sie das Programm nach dem
Inhalt der Variablen A, B, und C. Geben
Sie diese jeweils wie gewünscht an. Ist
eine oder mehrere dieser Variablen nicht
in den beiden Formeln für Xund Y-Koordinate enthalten, so überspringen
Sie die Eingabe einfach durch Drücken
der < RETURN>- Taste, da diese Werte dann
auch irrelevant sind.
Hiernach möchte das Programm von Ihnen
die Startwerte für Xund Y-Koordinate wissen. Berechnen Sie eine neue Grafik, so drücken Sie auch hier einfach die
< RETURN>- Taste. Für den Fall, daß Sie
eine abgebrochene Grafik weiterberechnen, so müssen Sie hier die beim Abbruch
vom Programm angegebenen Werte eintragen.
Als nächstes sind die Werte für den linken und rechten Rand anzugeben. Sie bestimmen hiermit, auf welchen Bereich der
unendlich großen Fraktalmenge Sie sich
beschränken. Die Werte können beliebig
klein oder groß sein, wobei Sie jedoch
darauf achten sollten, daß X2 immer größer ist als X1 .
Nun müssen noch die Grenzen für den oberen und unteren Bildschirmrand angegeben
werden. Auch hier wird nicht eine Bildschirmkoordinate, sondern der Bereich
der Fraktalmenge bestimmt, auf den Sie
blicken möchten. Das Programm gibt Ihnen
dabei schon zwei Werte vor, die es
abhängig von den beiden Werten für die
linke und rechte Bildbegrenzung errech- net hat. Öbernehmen Sie diese beiden
Werte durch drücken der < RETURN>- Taste, so ist gewährleistet, daß die berechnete
Grafik unverzerrt auf dem Bildschirm
erscheint. Die Werte sind automatisch
darauf ausgelegt, das Seitenverhältnis
des Bildschims auszugleichen. Wählen Sie
kleinere oder größere Werte, so wird das
Ergebnisbild in der Vertikalen gestaucht
oder gedehnt.
Nun möchte der Fraktalgenerator von Ihnen wissen, ob er die Grafik, die sich
momentan im Speicher befindet, löschen
soll. Bestätigen Sie die immer mit < J>, wenn Sie eine neue Berechnung starten.
Soll eine zuvor begonnene Berechnung
fortgeführt werden, so sollten Sie mit
< N> die Grafik so belassen wie sie ist.
Zuletzt wird nach der Anzahl der maximal
zu berechnenden Iterationen gefragt.
Hier werden Werte zwischen 100000 und
1000000 empfohlen. Je höher der Wert, desto detailreicher wird die Grafik, jedoch desto länger dauert auch die Be- rechnung!
Nachdem der letzte Parameter spezifiziert wurde beginnt das Programm mit der
Berechnung der Grafik, was durchaus mehrere Stunden in Anspruch nehmen kann!
Sie sehen hierbei einen weißen Grafikbildschirm auf dem nach einiger Zeit
schon die ersten Grafikpunkte zu sehen
sein sollten. Sie haben nun jederzeit
die Möglichkeit, durch Drücken der
< C=>- Taste die Berechnung anzuhalten.
Hierbei wird Ihnen angezeigt, wieviele
von den geforderten Iterationen das Programm schon durchlaufen hat und Sie werden gefragt, ob Sie die Berechnung vorzeitig abbrechen, oder doch weiterführen
möchten. In letzterem Fall drücken Sie
die < N>- Taste. Brechen Sie mit < J> ab, so gibt Ihnen das Programm die Werte der
Xund Y-Koordinaten zum Zeitpunkt der
Unterbrechung aus. Möchten Sie die Berechnung zu einem späteren Zeitpunkt
fortführen, so sollten Sie sich diese
beiden Werte notieren, und die sich im Speicher befindliche Grafik auf Diskette
ablegen. Um die Berechnung später dann
neu zu starten laden Sie einfach die
Grafik wieder ein und geben Sie bei den
Parametern zu Beginn der Berechnung dieselben Werte an, die Sie zuvor auch
schon benutzten. Die beiden notierten Xund Y-Werte setzen Sie dann als Startkoordinaten der Berechnung ein. Zusätzlich müssen Sie dem Programm mitteilen, daß es die Grafik im Speicher nicht löschen, sondern neu berechnete Punkte in
die alte Grafik einfügen soll.
Bricht das Programm die Berechnung von
selbst ab, so wurden entweder alle Iterationen durchgerechnet oder es trat ein
Fehler in Ihrer Formel auf. Dies kann
passieren, wenn Sie eine unbekannte Variable oder mathematische Funktion verwendeten, oder aber auch mathematische
Fehler, wie z. B. eine Division durch 0, auftraten. In dem Fall sollten Sie Ihre
Koordinatenformeln, sowie die Rechenparameter nochmals überprüfen.
c) FRAKTAL ZEIGEN Mit dieser Funktion können Sie sich die
im Speicher befindliche Grafik auf dem
Bildschirm anschauen. Durch Drücken der
Tasten < F1> und < F7> können Sie die Hintergrund- und Pixelfarbe ändern. Mit der
<<>- Taste wird zum Hauptmenu zurückgekehrt.
d) FRAKTAL SICHERN Diese Funktion legt die, sich im Speicher befindliche, Grafik auf Diskette
ab. Benutzen Sie sie um eine Grafik z. B.
in einem Grafikprogramm weiterzuverwenden oder auszudrucken. Möchten Sie eine
abgebrochene Berechnung später weiterführen so sollte ebenfalls gespeichert werden. Nach Eingabe des Filenamens und Beendigung des Speichervorgangs
erscheint der Floppystatus auf dem Bildschirm und Sie gelangen mit einem beliebigen Tastendruck zum Hauptmenu zurück.
e) FRAKTAL LADEN Hiermit wird eine zuvor gespeicherte
Grafik wieder in den Speicher des Computers geladen. Dies ist nur dann notwendig, wenn Sie eine abgebrochene Berechnung fortführen möchten.
f) DIRECTORY Diese Funktion zeigt Ihnen das Inhaltsverzeichnis der eingelegten Diskette auf
dem Bildschirm an. Mit einem beliebigen
Tastendruck wird zum Hauptmenu zurückgekehrt.
g) PROGRAMM BEENDEN Hiermit wird der Fraktalgenerator verlassen. Sie müssen hierzu die erscheinende Sicherheitsabfrage mit < J> beantworten. Geben Sie < N> ein, um zum Hauptmenu zurückzukehren.
3) BEISPIELE Prinzipiell sollten Sie mit dem Programm
ein wenig herumexperimentieren, um zu
sehen, welche Parameter und Formeln welche Arten von Fraktalen erzeugen. Zum
leichteren Einstieg möchten wir Ihnen
zwei Formeln für Xund Y-Koordinate, sowie einige Beispielwerte für die Variablen A, B, und C geben, mit denen Sie
recht ansehnliche Fraktalgrafiken berechnen lassen können. Öbernehmen Sie
die Formeln einfach wie sie hier stehen, und wählen Sie bei der Berechnung eine
der angegebenen Möglichkeiten für die
Variablen A, B und C:
a) BEISPIEL 1
Formeln:
x = y-SGN(x)*SQR(ABS(b*x-c))
y = a-x
Variablen:
a=12 b=1.3 c=7
a=2 b=13 c=1.2
a=4 b=5 c=0
b) BEISPIEL 2
Formeln:
x = y-SQR(ABS((x+a)*(b-x)))
y = c-x
Variablen:
a=1 b=20 c=100
a=4 b=40 c=-20
(ub)
