FRAKTALGENERATOR
- Die Faszination der Mathematik -
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Mit dem "Fraktalgenerator" auf dieser MD
möchten wir Ihnen ein Programm vorstel-
len, mit dem es möglich ist, die umfan-
greiche Welt der Fraktalgrafik zu erfor-
schen. Hierzu gehören nicht nur die so-
genannten "Apfelmännchen" sondern auch
eine Vielzahl von weiteren, faszinieren-
den Bildarten, deren Aussehen und Form
von den Berechnungsformeln abhängig ist,
die zur Erstellung eines solchen Bildes
herangezogen werden. Der Fraktalgenera-
tor ermöglicht Ihnen diese Formeln
selbst festzulegen, womit Ihnen eine
unendliche Zahl an Kombinationsmöglich-
keiten zur Verfügung stehen, und Sie die
Welt der Fraktale regelrecht "erfor-
schen" können.
1) ALLGEMEINE BEDIENUNGSHINWEISE
Zunächst laden und starten Sie das Pro-
gramm mittels LOAD"FRAKTALGENERATOR",8
und "RUN". Hiernach wird noch ein kurzer
Programmteil nachgeladen, bevor das
Hauptmenu erscheint. Außer den sieben
Menupunkten sehen Sie links unten am
Bildschirm die momentan eingestellten
Formeln, nach denen X- und Y-Koordinate
eines Punktes berechnet werden.
Die Menupunkte selbst können Sie mit
Hilfe der Tasten <CRSR hoch> und <CRSR
runter> wählen, oder aber Sie drücken
gleich eine der Zifferntasten von <1>
bis <7> um die beiden Pfeile, die den
aktuellen Menupunkt anzeigen, auf die
gewünschte Position zu bringen. Mit <RE-
TURN> wird dann ein Menupunkt angewählt.
Bei allen Eingabe-Funktionen des Pro-
gramms kann die <DEL>-Taste zum Löschen
des jeweils zuletzt eingegebenen Zei-
chens benutzt werden. Die gesamte Einga-
be wird immer mit <RETURN> abgeschlos-
sen.
Alle Filenamen dürfen maximal 11 Zeichen
lang sein. Das Programm hängt dann immer
automatisch die Endung ".frac" an, an
der Sie die vom Fraktalgenerator erzeug-
ten Fraktalgrafiken erkennen. Dies sind
übrigens ganz normale 2-farb-
Hiresgrafiken, die Sie mit jedem belie-
bigen Malprogramm einladen und weiter-
bearbeiten können.
2) DIE MENUPUNKTE
Kommen wir nun zu den einzelnen Funktio-
nen des Hauptmenus und deren Bedeutung:
a) FRAKTAL EINGEBEN
Hier definieren Sie die Formeln, mit
denen das Programm die X- und Y-
Koordinate eines Punktes berechnen soll.
Hierbei können Sie einige bestimmte Va-
riablen, die Grundrechenarten (+,-,*,/)
sowie alle vom Commodore-Basic un-
terstützten, mathematischen Funktionen
(z.B. SIN, COS, SQR, ABS, etc.) verwen-
den. Als Variablen kennt das Programm
insgesamt neun verschiedene Werte, die
teilweise aus den Koordinatenformeln
resultieren oder später, vor der Berech-
nung von Ihnen festgelegt werden können.
Hier nun eine Auflistung der einzelnen
Variablen. Zum genaueren Verständis ein-
zelner Variablen sollten Sie sich die
Beschreibung zum Menupunkt "FRAKTAL BE-
RECHNEN" anschauen:
X und Y:
Diese beiden Variablen repräsentieren
den aktuellen Schleifenwert für X- und
Y-Durchlauf. Er errechnet sich aus der
Differenz zwischen linkem und rechten,
bzw. oberen und unteren Bildschirmrand,
dividiert durch die Anzahl der Iteratio-
nen, mal die Anzahl der schon durch-
geführten Iterationen.
A, B, und C:
Dies sind 3 von Ihnen frei definierbare
Parameter, die, in die X- und Y-
Koordinatenformeln eingesetzt, bestimmte
Veränderungen durchführen. Multiplizie-
ren Sie z.B. die gesamte Formel mit der
Variablen A und geben Sie dieser vor der
Berechnung den Wert 2, so wird das Er-
gebnis der Formel automatisch verdop-
pelt, was einer Vergrößerung des Bildes
um den Faktor 2 gleichkommt.
X1 und X2:
Diese beiden Variablen repräsentieren
des linken (X1) und rechten (X2) Bild-
schirmrand, der vor der Berechnung defi-
niert wird.
Y1 und Y2:
Diese Werte sind die obere (Y1) und un-
tere (Y2) Bildschirmrand-Koordinate für
eine Berechnung, die ebenfalls beide in
einer Formel eingesetzt werden dürfen.
Wie Sie sehen, können Sie durch Rekombi-
nation dieser Variablen und wiederum
verschiedener mathematischer Rechenfunk-
tionen eine unendliche Vielfalt von ver-
schiedenen Formeln erstellen. Da die
Bedeutung der einzelnen Parameter auf
den ersten Blick nicht unbedingt
verständlich ist, sind am Ende dieser
Anleitung noch einige Beispielwerte und
-formeln zu finden, die Ihnen das Expe-
rimentieren erleichten sollen.
b) FRAKTAL BERECHNEN
Dieser Menupunkt dient nun dem eigentli-
chen Berechnen eines Fraktalbildes.
Hierzu müssen zunächst einige Berech-
nungsparameter angegeben werden. Als
Erstes fragt Sie das Programm nach dem
Inhalt der Variablen A, B, und C. Geben
Sie diese jeweils wie gewünscht an. Ist
eine oder mehrere dieser Variablen nicht
in den beiden Formeln für X- und Y-
Koordinate enthalten, so überspringen
Sie die Eingabe einfach durch Drücken
der <RETURN>-Taste, da diese Werte dann
auch irrelevant sind.
Hiernach möchte das Programm von Ihnen
die Startwerte für X- und Y-Koordinate
wissen. Berechnen Sie eine neue Grafik,
so drücken Sie auch hier einfach die
<RETURN>-Taste. Für den Fall, daß Sie
eine abgebrochene Grafik weiterberech-
nen, so müssen Sie hier die beim Abbruch
vom Programm angegebenen Werte eintra-
gen.
Als nächstes sind die Werte für den lin-
ken und rechten Rand anzugeben. Sie be-
stimmen hiermit, auf welchen Bereich der
unendlich großen Fraktalmenge Sie sich
beschränken. Die Werte können beliebig
klein oder groß sein, wobei Sie jedoch
darauf achten sollten, daß X2 immer grö-
ßer ist als X1.
Nun müssen noch die Grenzen für den obe-
ren und unteren Bildschirmrand angegeben
werden. Auch hier wird nicht eine Bild-
schirmkoordinate, sondern der Bereich
der Fraktalmenge bestimmt, auf den Sie
blicken möchten. Das Programm gibt Ihnen
dabei schon zwei Werte vor, die es
abhängig von den beiden Werten für die
linke und rechte Bildbegrenzung errech-
net hat. Öbernehmen Sie diese beiden
Werte durch drücken der <RETURN>-Taste,
so ist gewährleistet, daß die berechnete
Grafik unverzerrt auf dem Bildschirm
erscheint. Die Werte sind automatisch
darauf ausgelegt, das Seitenverhältnis
des Bildschims auszugleichen. Wählen Sie
kleinere oder größere Werte, so wird das
Ergebnisbild in der Vertikalen gestaucht
oder gedehnt.
Nun möchte der Fraktalgenerator von Ih-
nen wissen, ob er die Grafik, die sich
momentan im Speicher befindet, löschen
soll. Bestätigen Sie die immer mit <J>,
wenn Sie eine neue Berechnung starten.
Soll eine zuvor begonnene Berechnung
fortgeführt werden, so sollten Sie mit
<N> die Grafik so belassen wie sie ist.
Zuletzt wird nach der Anzahl der maximal
zu berechnenden Iterationen gefragt.
Hier werden Werte zwischen 100000 und
1000000 empfohlen. Je höher der Wert,
desto detailreicher wird die Grafik,
jedoch desto länger dauert auch die Be-
rechnung!
Nachdem der letzte Parameter spezifi-
ziert wurde beginnt das Programm mit der
Berechnung der Grafik, was durchaus meh-
rere Stunden in Anspruch nehmen kann!
Sie sehen hierbei einen weißen Grafik-
bildschirm auf dem nach einiger Zeit
schon die ersten Grafikpunkte zu sehen
sein sollten. Sie haben nun jederzeit
die Möglichkeit, durch Drücken der
<C=>-Taste die Berechnung anzuhalten.
Hierbei wird Ihnen angezeigt, wieviele
von den geforderten Iterationen das Pro-
gramm schon durchlaufen hat und Sie wer-
den gefragt, ob Sie die Berechnung vor-
zeitig abbrechen, oder doch weiterführen
möchten. In letzterem Fall drücken Sie
die <N>-Taste. Brechen Sie mit <J> ab,
so gibt Ihnen das Programm die Werte der
X- und Y-Koordinaten zum Zeitpunkt der
Unterbrechung aus. Möchten Sie die Be-
rechnung zu einem späteren Zeitpunkt
fortführen, so sollten Sie sich diese
beiden Werte notieren, und die sich im
Speicher befindliche Grafik auf Diskette
ablegen. Um die Berechnung später dann
neu zu starten laden Sie einfach die
Grafik wieder ein und geben Sie bei den
Parametern zu Beginn der Berechnung die-
selben Werte an, die Sie zuvor auch
schon benutzten. Die beiden notierten X-
und Y-Werte setzen Sie dann als Start-
koordinaten der Berechnung ein. Zusätz-
lich müssen Sie dem Programm mitteilen,
daß es die Grafik im Speicher nicht lö-
schen, sondern neu berechnete Punkte in
die alte Grafik einfügen soll.
Bricht das Programm die Berechnung von
selbst ab, so wurden entweder alle Ite-
rationen durchgerechnet oder es trat ein
Fehler in Ihrer Formel auf. Dies kann
passieren, wenn Sie eine unbekannte Va-
riable oder mathematische Funktion ver-
wendeten, oder aber auch mathematische
Fehler, wie z.B. eine Division durch 0,
auftraten. In dem Fall sollten Sie Ihre
Koordinatenformeln, sowie die Rechenpa-
rameter nochmals überprüfen.
c) FRAKTAL ZEIGEN
Mit dieser Funktion können Sie sich die
im Speicher befindliche Grafik auf dem
Bildschirm anschauen. Durch Drücken der
Tasten <F1> und <F7> können Sie die Hin-
tergrund- und Pixelfarbe ändern. Mit der
<<>-Taste wird zum Hauptmenu zurückge-
kehrt.
d) FRAKTAL SICHERN
Diese Funktion legt die, sich im Spei-
cher befindliche, Grafik auf Diskette
ab. Benutzen Sie sie um eine Grafik z.B.
in einem Grafikprogramm weiterzuverwen-
den oder auszudrucken. Möchten Sie eine
abgebrochene Berechnung später wei-
terführen so sollte ebenfalls gespei-
chert werden. Nach Eingabe des Filena-
mens und Beendigung des Speichervorgangs
erscheint der Floppystatus auf dem Bild-
schirm und Sie gelangen mit einem belie-
bigen Tastendruck zum Hauptmenu zurück.
e) FRAKTAL LADEN
Hiermit wird eine zuvor gespeicherte
Grafik wieder in den Speicher des Compu-
ters geladen. Dies ist nur dann notwen-
dig, wenn Sie eine abgebrochene Berech-
nung fortführen möchten.
f) DIRECTORY
Diese Funktion zeigt Ihnen das Inhalts-
verzeichnis der eingelegten Diskette auf
dem Bildschirm an. Mit einem beliebigen
Tastendruck wird zum Hauptmenu zurückge-
kehrt.
g) PROGRAMM BEENDEN
Hiermit wird der Fraktalgenerator ver-
lassen. Sie müssen hierzu die erschei-
nende Sicherheitsabfrage mit <J> beant-
worten. Geben Sie <N> ein, um zum Haupt-
menu zurückzukehren.
3) BEISPIELE
Prinzipiell sollten Sie mit dem Programm
ein wenig herumexperimentieren, um zu
sehen, welche Parameter und Formeln wel-
che Arten von Fraktalen erzeugen. Zum
leichteren Einstieg möchten wir Ihnen
zwei Formeln für X- und Y-Koordinate,
sowie einige Beispielwerte für die Va-
riablen A, B, und C geben, mit denen Sie
recht ansehnliche Fraktalgrafiken be-
rechnen lassen können. Öbernehmen Sie
die Formeln einfach wie sie hier stehen,
und wählen Sie bei der Berechnung eine
der angegebenen Möglichkeiten für die
Variablen A, B und C:
a) BEISPIEL 1
Formeln:
x = y-SGN(x)*SQR(ABS(b*x-c))
y = a-x
Variablen:
a=12 b=1.3 c=7
a=2 b=13 c=1.2
a=4 b=5 c=0
b) BEISPIEL 2
Formeln:
x = y-SQR(ABS((x+a)*(b-x)))
y = c-x
Variablen:
a=1 b=20 c=100
a=4 b=40 c=-20
(ub)
